가측 기수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 필터와 측도
  - 2.1.1. κ-가법 측도
- 2.2. 가측 기수의 정의
  - 2.2.1. 실가 가측 기수
3. 성질
4. 역사
참조

1. 개요

가측 기수는 비가산 기수 κ로, κ의 멱집합에 대한 κ-가산적, 비자명, 0-1 값을 갖는 측도가 존재한다는 것을 의미한다. 가측 기수는 세 가지 동치 조건을 만족시키는 기수로 정의되며, 초여과기, 기본 매입, 필터와 측도 개념을 통해 설명된다. 가측 기수는 도달 불가능 기수이며, 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 약콤팩트 기수이다. 또한 실가 가측 기수, 울람 행렬, 울람 수와 관련이 있으며, 울람은 가장 작은 가측 기수가 도달 불가능 기수임을 증명했다.

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가측 기수
가측 기수
정의	가측 기수는 집합론에서 다루는 특정한 종류의 기수이다. 이 기수의 존재성은 ZF 공리계로는 증명할 수 없으며, 추가적인 공리를 필요로 한다.
성질	만약 κ가 가측 기수라면, κ는 비가산 정칙 기수이다. κ보다 작은 모든 기수는 κ보다 작고, κ의 공종도 역시 κ보다 작다. κ는 강하게 도달 불가능한 기수이다. 가측 기수의 존재는 선택 공리와 모순되지 않는다.
역사	가측 기수는 스타니스와프 울람이 1930년에 처음 정의했다.
참고 문헌	"Large Cardinals and Determinacy at the Stanford Encyclopedia of Philosophy"

2. 정의

형식적으로, 가측 기수는 비가산 기수 ''κ''이며, ''κ''의 멱집합에 대한 ''κ''-가산적, 비자명, 0-1 값을 갖는 측도 ''μ''가 존재한다는 것을 의미한다.

여기서 κ-가산적이라는 것은 모든 ''λ'' < ''κ''에 대해, 모든 ''λ'' 크기의 쌍별로 서로소인 부분 집합 집합 {''A''_''β''}_{''β''<''λ''}, ''A''_''β'' ⊆ ''κ''에 대해, 다음이 성립함을 의미한다.

:''μ''(⋃_{''β''<''λ''} ''A''_''β'') = Σ_{''β''<''λ''} ''μ''(''A''_''β'').

동등하게, ''κ''는 ''κ''-완전, 비주요 초여과기를 갖는 비가산 기수일 때 가측 기수이다. 이는 초여과기 내의 ''κ''보다 엄격하게 작은 개수의 집합의 교집합 또한 초여과기 내에 있다는 것을 의미한다.

2. 1. 필터와 측도

가측 기수는 비가산 기수 κ이며, κ의 멱집합에 대한 κ-가산적, 비자명, 0-1 값을 갖는 측도 μ가 존재한다는 것을 의미한다. 또는 ''κ''는 ''κ''-완전, 비주요 초여과기를 갖는 비가산 기수일 때 가측 기수라고 정의할 수 있다. 이는 초여과기 내의 ''κ''보다 엄격하게 작은 개수의 집합의 교집합 또한 초여과기 내에 있다는 것을 의미한다.

동등하게, ''κ''가 가측 기수라는 것은, ''κ''가 우주 ''V''를 추이적 클래스 ''M''으로의 비자명 기초적 매입의 임계점이라는 것을 의미한다. 이 동치는 제롬 케이슬러와 데이나 스콧에 의해 증명되었으며, 모델 이론의 초거듭제곱 구성을 사용한다. 스콧의 트릭은 ''V''가 진정한 클래스이므로, 초거듭제곱을 고려할 때 일반적으로 존재하지 않는 기술적인 문제를 해결하기 위해 사용된다.^[9]

2. 1. 1. κ-가법 측도

음이 아닌 확장된 실수의 집합

S\subseteq[0,\infty]

에 대하여, 다음을 정의한다.^[9]

:

\sum S=\sup_\sum S'\in[0,\infty]

임의의 기수

\kappa

와

\kappa

-완비 불 대수

B

및

S\subseteq[0,\infty]

에 대하여, 함수

\mu\colon B\to S

가 다음 조건들을 모두 만족시키면,

\mu

가

\mathsf{Meas}(\kappa;B,S)

조건을 만족시킨다고 한다.

$\mu(\bot)=0$ 이다.
(단조성) $a\le b$ 라면 $\mu(a)\le\mu(b)$ 이다.
( $\kappa$ -가법성) 임의의 $S\subseteq B$ 에 대하여, 만약 $|S|<\kappa$ 이며 임의의 $s,t\in S$ 에 대하여 $s\land t=\bot_B$ 라면, $\textstyle\mu\left(\bigvee S\right)=\sum\mu[S]$ 이다.

이 조건을 만족시키는 함수

\mu

를 '''

B

위의,

S

값의

\kappa

-가법 측도'''(

S

-valued

\kappa

-additive measure on

B

^영어)라고 한다.

이 개념은 다음 개념들을 일반화한다.

측도: 시그마 대수 $\Sigma$ 위의 측도 $\mu\colon\Sigma\to[0,\infty]$ 는 $\mathsf{Meas}(\aleph_1;\Sigma,[0,\infty])$ 를 만족시키는 함수이다.
극대 필터: $B$ 위의 극대 필터 $U\subseteq B$ 에 대하여, 함수 $\mu\colon B\to\{0,1\}$ , $\textstyle \mu\colon b\mapsto\begin{cases}1&b\in U\\0&b\not\in U\end{cases}$ 를 정의하면, $\mu$ 는 $\mathsf{Meas}(\aleph_0;B,\{0,1\})$ 를 만족시킨다.

형식적으로, 가측 기수는 비가산 기수 ''κ''이며, 이는 ''κ''의 멱집합에 대한 ''κ''-가산적, 비자명, 0-1 값을 갖는 측도 ''μ''가 존재한다는 것을 의미한다.

여기서, κ-가산적이라는 것은 다음과 같다. 모든 ''λ'' < ''κ''에 대해, 그리고 모든 ''λ'' 크기의 쌍별로 서로소인 부분 집합 집합 {''A''_''β''}_{''β''<''λ''}, ''A''_''β'' ⊆ ''κ''에 대해, 다음이 성립한다.

:''μ''(⋃_{''β''<''λ''} ''A''_''β'') = Σ_{''β''<''λ''} ''μ''(''A''_''β'').

동등하게, ''κ''는 ''κ''-완전, 비주요 초여과기를 갖는 비가산 기수일 때 가측 기수이다. 이는 초여과기 내의 ''κ''보다 엄격하게 작은 개수의 집합의 교집합 또한 초여과기 내에 있다는 것을 의미한다.

2. 2. 가측 기수의 정의

기수

\kappa

에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 '''가측 기수'''라고 한다.

크기가 $\kappa$ 인 집합 위에, 주 필터가 아닌 $\kappa$ -완비 극대 필터가 존재한다.^[9]^[10]
멱집합 $\operatorname{Pow}(\kappa)$ 위에, $\mathsf{Meas}(\kappa;\operatorname{Pow}(\kappa),\{0,1\})$ 를 만족시키는 함수 $\mu\colon\operatorname{Pow}(\kappa)\to\{0,1\}$ 가 존재하며, 임의의 $\alpha\in\kappa$ 에 대하여 $\mu(\{\alpha\})=0$ 이다.
$\kappa$ 는 폰 노이만 전체 $V$ 로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 $M$ 으로 가는 기본 매장의 임계점이다.

가측 기수는 비가산 기수 ''κ''이며, ''κ''의 멱집합에 대한 ''κ''-가산적, 비자명, 0-1 값을 갖는 측도 ''μ''가 존재한다는 것을 의미한다. 여기서 κ-가산적이라는 것은 모든 ''λ'' < ''κ''에 대해, 모든 ''λ'' 크기의 쌍별로 서로소인 부분 집합 {''A''_''β''}_{''β''<''λ''}, ''A''_''β'' ⊆ ''κ''에 대해, ''μ''(⋃_{''β''<''λ''} ''A''_''β'') = Σ_{''β''<''λ''} ''μ''(''A''_''β'')가 성립함을 의미한다.

''κ''가 가측 기수라는 것은 ''κ''가 우주 ''V''를 추이적 클래스 ''M''으로의 비자명 기초적 매입의 임계점이라는 것을 의미한다. 이 동치는 제롬 케이슬러와 데이나 스콧에 의해 증명되었으며, 모델 이론의 초거듭제곱 구성을 사용한다.

2. 2. 1. 실가 가측 기수

임의의 기수

\kappa

에 대하여,

\mathsf{Meas}(\kappa;\operatorname{Pow}(\kappa),[0,1])

를 만족시키는 확률 측도

\mu\colon\operatorname{Pow}(\kappa)\to[0,1]

가 존재하며, 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 가정하자.

$\mu$ 가 한원소 집합을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의 $a\in\kappa$ 에 대하여 $\mu(\{a\})=0$ 이다.)

그렇다면

\kappa

를 '''실가 가측 기수'''(實價可測基數, real-valued measurable cardinal^영어)라고 한다.^[9]^[10]

기수 ''κ''가 단일 집합에서 사라지는 ''κ''-가산 확률 측도가 ''κ''의 멱집합에 존재하면 '''실수값 가측'''이라고 한다. 실수값 가측 기수는 스테판 바나흐(Stefan Banach)가 1930년에 처음 소개하였다. 바나흐와 쿠라토프스키(Kuratowski)는 연속체 가설이 𝔠(실수의 크기)가 실수값 가측이 아님을 함축함을 보였다. 스타니스와프 울람(Stanislaw Ulam)은 1930년에 실수값 가측 기수가 약하게 접근 가능하다는 것을 보였다(사실 약하게 마할로이다). 모든 가측 기수는 실수값 가측이며, 실수값 가측 기수 ''κ''가 가측 기수가 될 필요충분 조건은 ''κ''가 𝔠보다 큰 경우이다. 따라서 기수가 가측 기수가 될 필요충분 조건은 실수값 가측이고 강하게 접근 가능한 경우이다.

𝔠보다 작거나 같은 실수값 가측 기수가 존재할 필요충분 조건은 가산 가법적 르베그 측도의 확장, 즉 모든 실수 집합에 대한 확장이 존재할 때이며, 이는 어떤 공집합이 아닌 집합의 멱집합에 원자 없는 확률 측도가 존재할 때와 같다.

솔로베이(Solovay)는 1971년에 ZFC에서 가측 기수의 존재, ZFC에서 실수값 가측 기수의 존재, 그리고 ZF에서 가측 기수의 존재가 동일한 무모순성을 가짐을 보였다.

3. 성질

모든 가측 기수는 실수값 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실수값 가측 기수는 $2^{\aleph_0}$ 이하이다.^[9] 가측 기수 $\kappa$ 에 대하여, $V_\kappa$ 는 ZFC의 모형이므로, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한, $V_\kappa$ 에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적이다.

만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, 구성 가능성 공리 $V=L$ 은 거짓이다.^[11]

스타니스와프 울람은 비자명한 가산적 두 값 측도를 허용하는 가장 작은 기수 ''κ''가 ''κ''-가산적 측도를 허용해야 함을 보였다.^[9]

3. 1. 함의 관계

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 가측 기수는 도달 불가능한 기수이며 약콤팩트 기수이다.^[9] (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.^[9] 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

:초콤팩트 기수 ⇒ 강콤팩트 기수 ⇒ 가측 기수 ⇒ 약콤팩트 기수 ⇒ 말로 기수 ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 정칙 기수 ⇒ 기수 ⇒ 순서수

3. 2. 논리적 성질

\kappa

가 가측 기수라면,

V_\kappa

(크기가

\kappa

미만인 집합들로 구성된 폰 노이만 전체의 부분 집합)는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 모형이다. 따라서 ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한,

V_\kappa

에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적이다.^[11]

만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, 구성 가능성 공리

V=L

은 거짓이다.

''κ''가 비자명한 ''κ''-가산적 측도를 허용한다면, ''κ''는 반드시 정규 기수여야 한다. ''κ''보다 작은 기수를 갖는 모든 부분 집합은 측도 0을 가져야 하며, ''κ''-가산성에 의해 전체 집합이 ''κ''보다 작은 기수를 갖는 집합들의 합집합이 될 수 없다. 만약 ''λ'' < ''κ''라면, ''κ'' ≤ 2^''λ''일 수는 없다. ''κ''를 길이 ''λ''의 0-1 수열의 어떤 모임으로 식별할 수 있다면, 수열의 각 위치에 대해 해당 위치에 1을 갖는 수열의 부분 집합 또는 해당 위치에 0을 갖는 부분 집합은 측도 1을 가져야 한다. 따라서 이 ''λ''개의 측도 1 부분 집합들의 교집합은 또한 측도 1을 가져야 하지만, 정확히 하나의 수열을 포함하게 되어 측도의 비자명성에 모순된다. 따라서 선택 공리를 가정하면 ''κ''가 강한 극한 기수임을 추론할 수 있으며, 이는 도달 불가능성의 증명을 완료한다.

모든 가측 기수는 ZFC로부터 도달 불가능하고, 가측 기수가 후속 기수가 될 수 있다는 것은 ZF와 일치한다. ZF + AD로부터 ω₁이 가측이며,^[4] ω₁의 모든 부분 집합이 닫히고 무제한인 부분 집합을 포함하거나 분리되어 있다는 것이 따른다.

''κ''가 가측이고 ''p'' ∈ ''V''_''κ''이며 ''M'' (''V''의 초거듭제곱)이 ''ψ''(''κ, p'')를 만족한다면, ''V''가 ''ψ''(''α, p'')를 만족하는 ''α'' < ''κ''의 집합은 ''κ''에서 정적이다 (실제로 측도 1의 집합). 특히, ''ψ''가 Π₁ 공식이고 ''V''가 ''ψ''(''κ, p'')를 만족한다면, ''M''이 이를 만족하고 따라서 ''V''가 정적인 집합의 ''α'' < ''κ''에 대해 ''ψ''(''α, p'')를 만족한다.

''V''에서 ''M''₁으로의 임계점 ''κ''를 갖는 초등 매립 ''j''₁으로 시작한다면, ''κ''에 대한 초여과기 ''U''를 { ''S'' ⊆ ''κ'' | ''κ'' ∈ ''j''₁(''S'') }로 정의할 수 있다. 그런 다음 ''U''에 대한 ''V''의 초거듭제곱을 취하면 ''V''에서 ''M''₂로의 다른 초등 매립 ''j''₂를 얻을 수 있다. 하지만, ''j''₂ ≠ ''j''₁임을 유념해야 한다. 따라서 강한 기수와 같은 다른 유형의 대형 기수도 가측할 수 있지만, 동일한 매립을 사용하지 않는다.

모든 가측 기수 ''κ''는 0-거대한 기수이다. ^''κ''''M'' ⊆ ''M''이기 때문이다. 즉, ''κ''에서 ''M''으로의 모든 함수는 ''M''에 있다. 결과적으로, ''V''_''κ''+1 ⊆ ''M''.

3. 3. 울람 행렬

울람 행렬은 기수와 관련된 개념으로, 특정한 조건을 만족하는 함수이다. 울람 행렬의 개념은 집합론에서 확률 측도의 존재성과 관련된 논의에서 중요한 역할을 한다.

하위 섹션에서 울람 행렬의 정의와 존재성이 자세히 설명되어 있으므로, 여기서는 울람 행렬의 정의와 관련된 기본적인 내용만 간단히 언급한다. 임의의 두 기수

\kappa,\lambda

에 대해,

(\lambda,\kappa)

-울람 행렬은 특정 조건을 만족하는 함수

A\colon \lambda\times\kappa\to \operatorname{Pow}(\lambda)

이다.^[9] 이 함수는 각 열의 성분들이 서로소이고, 각 행의 성분들의 합집합의 여집합의 크기가

\kappa

이하라는 조건을 만족해야 한다.

울람 행렬은 측도의 원자 개념과도 관련이 있다. 측도

\mu

의 원자는

\mu(S) > 0

이지만, 임의의

S' 에 대해 \mu(S') = 0 이 되는 집합 S 를 의미한다. 울람 행렬의 존재는 \operatorname{Pow}(\lambda) 위의 \kappa^+ -가법 확률 측도가 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다는 것을 보이는 데 사용될 수 있다.

특히,

\operatorname{Pow}(\omega_1)

위의 임의의 (

\sigma

-가법) 확률 측도는 원자를 갖는다. 따라서 만약 연속체 가설이 성립한다면, 실수선

\mathbb R

위에는 모든 집합이 가측 집합이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재할 수 없다.^[9]

스타니스와프 울람은 비자명한 가산적 두 값 측도를 허용하는 가장 작은 기수 ''κ''가 ''κ''-가산적 측도를 허용해야 함을 보였다.

3. 3. 1. 울람 행렬의 정의

임의의 두 기수

\kappa,\lambda

에 대해,

(\lambda,\kappa)

-'''울람 행렬'''은 다음 두 성질을 만족시키는 함수

A\colon \lambda\times\kappa\to \operatorname{Pow}(\lambda)

,

A\colon (\alpha,\beta)\mapsto A_{\alpha,\beta}

이다.^[9]

각 열의 성분들은 서로소이다. 즉, $\alpha\ne\alpha'$ 이면, 임의의 $\beta<\lambda$ 에 대하여 $A_{\alpha,\beta}\cap A_{\alpha',\beta}=\varnothing$ 이다.
각 행의 성분들의 합집합의 여집합의 크기는 $\kappa$ 이하이다. 즉, 임의의 $\alpha<\lambda$ 에 대하여, $\textstyle|\lambda\setminus\bigcup_{\beta<\lambda}A_{\alpha,\beta}|<\kappa$ 이다.

만약

(\kappa,\lambda)

가 주어지지 않았다면,

(\kappa,\lambda)=(\aleph_1,\aleph_0)

을 뜻한다.

3. 3. 2. 울람 행렬의 존재성

임의의 기수

\kappa

에 대하여,

(\kappa^+,\kappa)

-울람 행렬이 존재한다.^[5]^[6]

각

\xi\in\kappa^+

에 대하여, 전사 함수

f_\xi\colon\kappa\to\xi

를 고른다. 행렬

A_{\alpha,\beta}

를 다음과 같이 정의한다.

:

\xi\in A_{\alpha,\beta}\iff f_\xi(\beta)=\alpha

그러면,

A

는

(\kappa^+,\kappa)

-울람 행렬을 이룬다.

임의의 $\xi\in\kappa^+$ 및 $\beta\in\kappa$ 에 대하여, $\xi\in A_{\alpha,\beta}$ 가 되는 유일한 $\alpha$ 는 $\alpha=f_\xi(\beta)$ 이다.
각 $\alpha\in\kappa^+$ 에 대하여, $\textstyle\kappa\setminus\bigcup_{\beta<\kappa}A_{\alpha,\beta}=\kappa\setminus\{\xi\in\kappa^+\colon \alpha<\xi\}=\min\{\alpha,\kappa\}$ 이다.

가장 작은 무한 기수 ℵ₀은 울람 수이다. 울람 수의 클래스는 기수 후자 연산에 닫혀있다.^[7] 무한 기수 ''β''가 울람 수이고, 그 직전 기수 ''α''가 존재한다고 가정하자. ''μ''가 ''X'' = ''β''인 속성을 만족한다고 가정한다. 폰 노이만 서수의 서수 및 기수 모델에서, 각 ''x'' ∈ ''β''에 대해 주입 함수를 선택한다.

:''f''_''x'': ''x'' → ''α''

그리고 다음과 같은 집합을 정의한다.

:''U''(''b, a'') = { ''x'' ∈ ''β'' | ''f''_''x''(''b'') = ''a'' }

''f''_''x''가 일대일 함수이므로, 다음 집합들은 쌍별로 서로소이다.

:{ ''U''(''b, a'') | ''b'' ∈ ''β'' } (''a'' ∈ ''α''는 고정됨)

:{ ''U''(''b, a'') | ''a'' ∈ ''α'' } (''b'' ∈ ''β''는 고정됨)

집합 { ''b'' ∈ ''β'' | ''μ''(''U''(''b, a'')) > 0 }은 가산이므로,

:|{ (''b, a'') ∈ ''β'' × ''α'' | ''μ''(''U''(''b, a'')) > 0 }| ≤ ℵ₀⋅''α.''

따라서

:''μ''(''U''(''b''₀, ''a'')) = 0 for every ''a'' ∈ ''α''

가 성립하는 ''b''₀가 존재하며, 이는 ''α''가 울람 수이고, 다음이 성립함을 의미한다.

:''μ''(⋃_{''a''∈''α''} ''U''(''b''₀, ''a'')) = 0.

만약 ''b''₀ < ''x'' < ''β''이고 ''f''_x(''b''₀) = ''a''_''x''이면 ''x'' ∈ ''U''(''b''₀, ''a''_''x'')이다. 따라서

:''β'' = b₀ ∪ {b₀} ∪ ⋃_{''a''∈''α''} ''U''(''b''₀, ''a'')

''μ''({''b''₀}) = 0이며, |''b''₀| ≤ ''α''이므로, ''μ''(''b''₀) = 0이다. 결과적으로 ''μ''(''β'') = 0이다. 결론은 ''β''가 울람 수라는 것이다.

비슷한 증명이 있으며^[8], |''S''|가 울람 수인 울람 수의 집합 ''S''의 상한은 다시 울람 수이다. 이전 결과와 함께, 이는 울람 수가 아닌 기수가 약하게 접근 불가능함을 의미한다.

3. 3. 3. 측도와의 관계

확률 측도

\Pr

가 공집합이 아닌 원자를 갖는다는 것은,

\Pr(\{\alpha\})>0

인

\alpha\in\lambda

가 존재한다는 것을 의미한다. 울람 행렬을 이용하여 이를 증명할 수 있다.

(\lambda,\kappa)

-울람 행렬이 존재하고,

\operatorname{Pow}(\lambda)

위의

\kappa^+

-가법 확률 측도

\Pr

가 존재한다고 가정하자. 귀류법을 사용하여, 임의의

\alpha\in\lambda

에 대하여

\Pr(\{\alpha\})=0

라고 가정하면 모순이 발생한다. 울람 행렬의 정의에 따라,

\Pr(A_{\alpha,f(\alpha)})>0

인

f(\alpha)<\kappa

가 존재하고,

f^{-1}(\beta_0)=\lambda

인

\beta_0\in\kappa

가 존재한다. 여기서

\mathcal U=(A_{\alpha,\beta_0})_{\alpha\in f^{-1}(\beta_0)}

는

\lambda

개의, 양의 측도의 서로소 집합들의 족이 된다. 이 집합족에서

|\mathcal U_{m_0}|=\lambda

인

m_0\in\omega

가 존재하고,

\Pr\left(\bigcup\mathcal U_m\right)=\infty

가 되어 확률 측도 조건에 모순된다.

특히,

\operatorname{Pow}(\omega_1)

위의 임의의 (

\sigma

-가법) 확률 측도는 원자를 갖는다. 따라서 연속체 가설이 성립한다면, 실수선

\mathbb R

위에, 모든 집합이 가측 집합이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재하지 않는다.^[9]

만약 ''κ''가 비자명한 ''κ''-가산적 측도를 허용한다면, ''κ''는 정규 기수여야 한다. 또한, 선택 공리를 가정하면, ''κ''는 강한 극한 기수가 되어 도달 불가능하다.

울람(Ulam)은 비자명한 가산적 두 값 측도를 허용하는 가장 작은 기수 ''κ''가 ''κ''-가산적 측도를 허용해야 함을 보였다.

4. 역사

스타니스와프 울람은 1930년에 가측 기수를 도입하였고, (만약 존재한다면) 가장 작은 가측 기수가 도달 불가능한 기수임을 증명하였다.^[12]^[13]

스테판 바나흐는 1930년에 실가 가측 기수를 도입하였다.^[14]^[9]

참조

_[1] Harvnb
_[2] Harvnb
_[3] Harvnb
_[4] 논문 The Brave New World of Determinacy https://projecteucli[...] Bulletin of the American Mathematical Society 1981-11
_[5] Harvnb
_[6] 문서 The notion in the article [[Ulam number]] is different.
_[7] Harvnb
_[8] Harvnb
_[9] 서적 Set theory https://archive.org/[...] Springer-Verlag 2003
_[10] 서적 The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings Springer-Verlag 2003
_[11] 저널 Measurable cardinals and constructible sets 1961
_[12] 저널 Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre http://pldml.icm.edu[...] 1930
_[13] 저널 Learning from Ulam: measurable cardinals · ergodicity · biomathematics http://library.lanl.[...] 2014-12-22
_[14] 저널 Über additive Massfunktionen in abstrakten Mengen http://kielich.amu.e[...] 2016-09-10

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